PENGERTIAN SISTEM AKSIOMATIK
Sistem aksiomatik memuat himpunan yang terdiri dari istilah-istilah yang tidak didefinisikan atau primitif, dan memiliki arti yang bergantung pada interpretasi pembaca. Semua istilah selain istilah-istilah primitif didefinisikan berdasarkan istilah-primitif. Istilah-istilah itu disebut definisi. Sistem aksiomatik juga mengandung himpunan pernyataan yang tidak perlu dibuktikan. Pernyataan-pernyataan yang tidak perlu dibuktikan tersebut dirumuskan menggunakan istilah-istilah primitif dan definisi-definisi. Pernyataan-pernyataan tersebut disebut aksioma atau postulat. Konsekuensi logis dari aksioma-aksioma pada suatu sistem aksiomatik disebut sebagai teorema, yang keabsahannya tidak bergantung pada interpretasi terhadap istilah-istilah primitif.
Berikut ini merupakan salah satu contoh dari sistem aksiomatik.
Diberikan suatu sistem aksiomatik, dinamai dengan sistem aksiomatik Fe-Fo, dengan istilah-istilah primitif : “Fe”, “Fo”, dan relasi “termasuk pada”. Aksioma-aksiomanya adalah :
Aksioma 1. Terdapat tepat tiga Fe yang berbeda pada sistem aksioma ini.
Aksioma 2. Dua Fe yang berbeda termasuk pada tepat satu Fo.
Aksioma 3. Tidak semua Fe termasuk pada Fo yang sama.
Aksioma 4. Setiap dua Fo yang berbeda memuat paling sedikit satu Fe yang termasuk pada keduanya.
Dari aksioma-aksioma tersebut kita memiliki teorema-teorema di bawah ini.
Teorema Fe-Fo 1. Dua Fo yang berbeda memuat tepat satu Fe.
Bukti. Aksioma 4 mengatakan bahwa setiap dua Fo yang berbeda memuat paling sedikit satu Fe. Karenanya, untuk membuktikan Teorema Fe-Fo 1, kita cukup membuktikan bahwa tidak mungkin setiap dua Fo yang berbeda memuat lebih dari satu Fe. Kita akan menggunakan bukti kontradiksi. Andaikan setiap dua Fo yang berbeda memuat dua Fe. Namun pengandaian ini bertentangan atau kontradiksi dengan aksioma 2 yang menyatakan bahwa dua Fe yang berbeda termasuk pada tepat satu Fo. Pengandaian setiap dua Fo yang berbeda memuat lebih dari dua Fe juga akan menimbulkan pertentangan dengan aksioma 2. Dengan demikian, dua Fo yang berbeda haruslah memuat tepat satu Fe. ■
Teorema Fe-Fo 2. Terdapat tepat tiga Fo.
Bukti. Aksioma 2 menyatakan setiap pasang Fe yang berbeda termasuk pada tepat satu Fo. Aksioma 1 menyatakan terdapat tepat tiga Fe yang berbeda pada sistem. Berdasarkan Aksioma 1 dan 2 tersebut, maka terdapat paling sedikit tiga Fo. Untuk membuktikan Teorema Fe-Fo 2, kita cukup membuktikan tidak mungkin terdapat lebih dari tiga Fo. Kita akan menggunakan bukti kontradiksi. Andaikan terdapat empat Fo. Menurut Teorema Fe-Fo 1, Fo yang keempat bersama dengan tiga Fo sebelumnya akan membentuk enam Fe. Padahal menurut Aksioma 1, hanya terdapat tepat tiga Fe yang berbeda. Akibatnya, terjadi kontradiksi. Kontradiksi seperti itu akan terjadi pula jika kita mengandaikan terdapat lebih dari empat Fo. Jadi haruslah tidak boleh lebih dari tiga Fo. Dengan demikian terdapat tepat tiga Fo. ■
Teorema Fe-Fo 3. Setiap Fo memiliki tepat dua Fe yang termasuk padanya.
Bukti. Menurut Aksioma 2, setiap Fo memiliki paling sedikit dua Fe yang terletak padanya. Selanjutnya, andaikan terdapat lebih dari dua Fe yang termasuk pada tepat satu Fo. Misalkan terdapat tiga Fe yang termasuk pada satu Fo. Namun hal ini bertentangan dengan Aksioma 1 dan 3, yang menyatakan bahwa terdapat tepat tiga Fe dan tidak semuanya berada pada Fo yang sama. Kontradiksi ini akan terjadi juga jika terdapat lebih dari tiga Fe yang termasuk pada satu Fo. Jadi haruslah setiap Fo memiliki tepat dua Fe yang termasuk padanya. ■
MODEL
Istilah-istilah primitif “Fe”, “Fo”, dan “termasuk pada” bisa saja diinterpretasikan bermacam-macam. Sekarang, misalkan Fe diinterpretasikan sebagai titik, Fo diinterpretasikan sebagai garis, dan termasuk pada diinterpretasikan sebagai terletak pada. Karenanya sistem aksioma Fe-Fo menjadi :
Aksioma 1. Terdapat tepat tiga titik yang berbeda pada sistem aksioma ini.
Aksioma 2. Dua titik yang berbeda terletak pada tepat satu garis.
Aksioma 3. Tidak semua titik terletak pada garis yang sama.
Aksioma 4. Setiap dua garis yang berbeda memuat paling sedikit satu titik yang terletak pada keduanya.
Kalau kita perhatikan, aksioma-aksioma pada sistem aksioma Fe-Fo di atas (dengan meninterpretasikan Fe sebagai titik, Fo sebagai garis, dan termasuk pada sebagai terletak pada) merupakan pernyataan-pernyataan yang benar. Interpretasi yang demikian disebut sebagai model.
Selanjutnya, misalkan Fe diinterpretasikan sebagai buku, Fo diinterpretasikan sebagai rak, dan termasuk pada diinterpretasikan sebagai terletak pada. Akibatnya, sistem aksioma Fe-Fo dengan interpretasi demikian menjadi :
Aksioma 1. Terdapat tepat tiga buku yang berbeda pada sistem aksioma ini.
Aksioma 2. Dua buku yang berbeda terletak pada tepat satu rak.
Aksioma 3. Tidak semua buku terletak pada rak yang sama.
Aksioma 4. Setiap dua rak yang berbeda memuat paling sedikit satu buku yang terletak pada keduanya.
Aksioma 4 pada sistem aksioma Fe-Fo di atas (dengan meninterpretasikan Fe sebagai buku, Fo sebagai rak, dan termasuk pada sebagai terletak pada) merupakan pernyataan yang salah. Interpretasi seperti ini tidaklah dikatakan sebagai model.
SIFAT SISTEM AKSIOMATIK
Suatu sistem aksiomatik harus memiliki beberapa sifat. Yang pertama, adalah konsisten. Suatu sistem aksiomatik dikatakan konsisten jika dari aksioma-aksioma yang ada tidak mungkin menghasilkan teorema-teorema yang kontradiksi dengan aksioma-aksioma yang ada dan dengan teorema-teorema yang telah dibuktikan sebelumnya.
Sifat kedua yang harus dimiliki oleh suatu sistem aksioma adalah setiap aksioma yang ada pada sistem tersebut bukanlah merupakan turunan (deduksi) dari aksioma-aksioma yang lain. Jadi antara aksioma yang satu dengan aksioma yang lain saling bebas atau independen.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar